根据题目描述，寺院有364只碗，其中三人共用一碗饭，四人共用一碗羹。我们可以通过列方程来解决这个问题。
设定变量
设寺院共有 $x$ 个僧人。
分析条件
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饭碗数量 ：每3人用1碗饭，因此饭碗数量为 $\frac{x}{3}$。
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羹碗数量 ：每4人用1碗羹，因此羹碗数量为 $\frac{x}{4}$。
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总碗数 ：饭碗和羹碗总数为364只，即： $$ \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 364 $$
解方程
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通分 ：将方程两边同乘以12（3和4的最小公倍数）： $$ 12 \left( \frac{x}{3} + \frac{x}{4} \right) = 12 \times 364 $$ $$ 4x + 3x = 4368 $$
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合并同类项 ： $$ 7x = 4368 $$
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求解 ： $$ x = \frac{4368}{7} = 624 $$
验证结果
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饭碗数量 ：$\frac{624}{3} = 208$ 只
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羹碗数量 ：$\frac{624}{4} = 156$ 只
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总碗数 ：$208 + 156 = 364$ 只，符合题目条件
结论
寺院共有 624个僧人 。
补充说明
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逻辑解释 ：总人数除以3得到饭碗数，是因为每3人共用1碗饭；同理，除以4得到羹碗数，因为每4人共用1碗羹。
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扩展应用 ：此类问题属于典型的“鸡兔同笼”题型，通过设未知数并列方程求解。
通过以上步骤，我们不仅得出答案，还验证了其合理性，确保解答过程严谨。