以下是广西北海可治疗牙龈肿痛的一些医院：

• 北海市中医医院：始建于 1923 年，是集医疗、教学、科研、预防、保健、养生于一体的三级甲等中医医院。医院设有牙周科，拥有经验丰富的医生，专注于治疗各种牙周疾病，在牙龈肿痛等口腔疾病的治疗方面有着丰富的经验和专业的技术。
• 北海市人民医院：一所集医疗、教学、科研、预防保健、急救为一体的国家三级甲等综合医院，设有口腔科门诊，拥有完善的诊疗设施和医疗人员储备，能够为牙龈肿痛患者提供专业的诊断和治疗。
• 北海市第二人民医院：是一所集医疗、教学、科研、预防、保健、康复于一体的二级甲等医院，其文明路院区设有口腔科，拥有先进的仪器设备和资深的口腔医师，可开展包括牙周病治疗在内的口腔全科项目，能有效治疗牙龈肿痛。
• 北海市海城区人民医院：是政府承办的非营利性公立医院，集医疗、预防、保健、康复、养老等为一体的综合性医疗机构。开设有口腔科，可提供口腔疾病的诊疗服务，对牙龈肿痛的治疗有一定的技术和经验。
• 北海市海城区地角卫生院：集医疗、预防保健、公共卫生服务为一体的全民所有制一级甲等乡镇卫生院。虽然是基层医疗机构，但也能为患者提供基本的口腔医疗服务，可处理一些常见的牙龈肿痛问题。

除了以上公立医院，北海还有一些牙科诊所，如北海市海城区海雄白龙牙科诊所，也可以为患者提供牙龈肿痛的相关诊疗服务。