清明户外烧烤时手被老鼠咬了，建议挂以下科室：
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急诊科
- 急诊科是处理各种紧急情况的科室。被老鼠咬后，应首先前往急诊科，医生会对伤口进行初步的处理，如清洗、消毒、包扎等，以防止伤口感染。急诊科医生也会对患者的整体状况进行评估，判断是否有其他紧急的健康问题需要处理。
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感染科
- 老鼠可能携带多种病原体，如汉坦病毒、鼠疫杆菌等，容易引起感染性疾病。感染科医生会根据伤口情况和患者的症状，进行相关的检查和诊断，如血常规、病原体检测等，并给予相应的抗感染治疗。
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皮肤科
- 被老鼠咬伤后，皮肤可能会出现红肿、瘙痒、皮疹等症状。皮肤科医生可以对皮肤损伤进行评估和治疗，给予外用药物或口服抗过敏药物，缓解皮肤症状。
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外科
- 如果伤口较深或较大，可能需要外科医生进行处理。外科医生会根据伤口的情况，决定是否需要进行清创缝合手术，以促进伤口愈合。
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免疫科
- 某些情况下，被老鼠咬伤后可能需要进行免疫接种，如狂犬疫苗、破伤风疫苗等。免疫科医生会根据患者的具体情况，制定合适的免疫接种方案。
清明户外烧烤时手被老鼠咬了，建议先挂急诊科进行初步处理和评估，之后根据伤口情况和症状，可能需要转诊至感染科、皮肤科、外科或免疫科进行进一步的治疗。在整个过程中，请遵循医生的建议，按时服药、复查，以确保伤口尽快恢复。