3-9岁儿童被家猫咬伤手指通常需要打破伤风疫苗，具体是否需要接种狂犬病疫苗需根据情况判断。

1. 破伤风疫苗

• 伤口处理：被猫咬伤后，无论伤口大小，都应及时用肥皂水或清水彻底清洗伤口，并进行消毒处理。
• 破伤风风险：破伤风是由破伤风梭菌产生的毒素引起的疾病，猫咬伤可能导致较深的伤口，增加破伤风的风险。通常建议在医生指导下接种破伤风疫苗。
• 疫苗接种：如果儿童未完成百白破疫苗全程接种，或接种情况不详，或最后一次注射超过10年，则需要注射破伤风类毒素或破伤风免疫球蛋白。

2. 狂犬病疫苗

• 狂犬病风险：狂犬病是由狂犬病毒引起的急性传染病，主要通过被感染的动物咬伤或抓伤传播。猫也可能携带狂犬病毒，因此被猫咬伤后存在感染狂犬病的风险。
• 疫苗接种：是否需要接种狂犬病疫苗取决于多个因素，包括猫的健康状况、疫苗接种史、伤口严重程度以及当地狂犬病疫情等。
• 十日观察法：世界卫生组织推荐的“十日观察法”适用于家养的、有明确疫苗接种史的猫狗，但需在接种第一针疫苗后进行观察。

3. 其他注意事项

• 伤口护理：保持伤口清洁干燥，避免感染。如果伤口较深或出血不止，应及时就医。
• 抗生素：根据医生建议，可能需要口服抗生素以预防感染。
• 饮食注意：避免辛辣刺激性食物，多吃新鲜水果和蔬菜，促进伤口愈合。

总结：3-9岁儿童被家猫咬伤手指后，通常需要打破伤风疫苗，是否需要接种狂犬病疫苗需根据具体情况判断。及时就医并遵循医生的建议是最佳选择。